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Lokale Extrema

Allgemein

Begriffsbestimmungen:

Hochpunkt = maxima
Tiefpunkt = minima

Erläuterungen:

Unter einem lokalen Extremum einer Funktion f(x) versteht man den Punkt, in dem die Funktion lokal ihren größten (Maximum) oder kleinsten (Minimum) Funktionswert besitzt.

Ableitungen

  • Funktionsterm
             f(x) = yn
     
  • 1. Ableitung beschreibt das Steigungsverhalten von f(x)
             f'(x) = n • xn-1   
      
  • 2. Ableitung beschreibt das Krümmungsverhalten von f(x)
             f''(x) =            
          
  • 3. Ableitung
             f'''(x) =

Hoch- / Tiefpunkt (Lokale Extrema)

Will man nun wissen, ob der Graph einer Funktion ein lokales Extremum (Minimum oder Maximum) besitzt, geht man folgendermaßen vor:

  • Man bildet von der Funtion die 1. Ableitung.
  • Von der 1. Ableitungsfunktion f ' (x) werden die Nullstellen bestimmt, d.h. der Funktionsterm der 1. Ableitungsfunktion f ' (x) wird Null gesetzt, da in einem Extremum die zugehörige Tangente die Steigung Null hat, d.h. f'(x)=0
  • überall dort, wo die 1. Ableitungsfunktion Nullstellen ungerader Ordnung besitzt, hat die Ausgangsfunktion f(x) ein Extremum.
  • Ob es sich dabei um ein Minimum oder ein Mayimum handelt, lässt sich aus dem Verhalten des Graphen der Funktion f(x) folgern.

notwendige Bedingung: 

Die Tangenten an den Extremwerten einer Funktion besitzen die Steigung Null, d.h. die Ableitung hat an dieser Stelle eine Nullstelle. Das ist notwendig (Notwendige Bedingung).

f '(x) = 0 (Ableitung (Steigung) ist Null)

hinreichende Bedingung:

Wenn die notwendige Bedingung erfüllt ist, dann mittels der hinreichenden Bedingung überprüfen um was für einen Punkt es sich handelt:

Vorzeichenwechsel

Ändert sich die Steigung des Graphen von negativ zu positiv so liegt ein Minimum vor, ändert sie sich von positiv zu negativ, so handelt es sich um ein Maximum.

  • links positiv und rechts negativ = Hochpunkt
    Hat die erste Ableitung an ihrer Nullstelle eine negative Steigung (zweite Ableitung < 0), so handelt es sich um einen Übergang von positiv zu negativ (Maximum)
     
  • links negativ und rechts positiv = Tiefpunkt
    ist die Steigung positiv (zweite Ableitung > 0), so handelt es sich um einen Übergang von negativ zu positiv (Minimum).
     
  • beide positiv oder beide negativ = Sattelpunkt
  • Ist die zweite Ableitung also ungleich Null spricht man von einer hinreichenden Bedingung.
     
  • f ''(x) ≠ 0
  • f ''(x) < 0  ⇒  Hochpunkt
  • f ''(x) > 0  ⇒  Tiefpunkt
     

Einsetzen

in f''(x) einsetzen und wenn das Ergebnis

  • positiv -> Tiefpunkt und
  • negativ -> Hochpunkt;

bei = Wert aus notwendiger Bedingung in weitere Ableitung einsetzen.

  • bei ungeradzahligen (  f''' / f''''' ) ≠ 0  -> Sattelpunkt
  • und bei geradzahligen ( f'''' / f'''''' ) -> Hoch- oder Tiefpunkt

 

Sattelpunkt:

Erläuterungen:

Unter einem Sattelpunkt einer Funktion f(x) versteht man den Punkt, in dem der Graph der Funktion f(x) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente besitzt.

Ist die zweite Ableitung an dieser Stelle Null, so kann die erste Ableitung entweder die x-Achse berühren ohne sie zu schneiden, dann hat die Funktion an der Stelle einen Sattelpunkt, oder aber die erste Ableitung besitzt an der Stelle selbst einen Sattelpunkt (schneidet aber dennoch die x-Achse)

doppelte Nullstelle in der 1. Ableitung   ⇒   Sattelpunkt

 

y-Wert ermitteln

Einsetzen des Wertes in die Ausgangsfunktion um y-Wert zu ermitteln. Dann wird der Punkt wie folgt angegeben:

  • HP (x/y)
  • TP (x/y)
  • SP (x/y)

 

Zusammenfassung:

Zur bestimmung der Extremwerte einer Funktion wird die erste Ableitung Null gesetzt. Hat die erste Ableitung Nullstellen ungerader Ordnung liegt ein Extremwert vor, hat die 1. Ableitung Nullstellen gerader Ordnung liegt ein Sattelpunkt vor.

Ist die zweite Ableitung größer (Minimum) oder kleiner (Maximum) als Null, so liegt ein Extremwert vor.

Ist die zweite Ableitung gleich Null, kann noch ein Extremwert vorliegen, es sind jeweils ein Punkt vor und nach der Nullstelle der ersten Ableitung zu berechnen. Unterscheiden sie sich im Vorzeichen liegt ein Extremum vor, andernfalls ein Sattelpunkt.

 


Zu guter Letzt

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